Curso Álgebra Linear

Prof. Marco Cabral e Paulo Goldfeld

Instituto de Matemática - UFRJ

Descrição

Este livro tem como foco o aluno e suas dificuldades. Ele é fartamente ilustrado, com cerca de 270 exemplos, muitos deles exercícios resolvidos.

Alguns números deste livro: são cerca de 270 exemplos, 60 observações, 100 definições, 20 teoremas, 15 corolários, 50 lemas e 420 exercícios, sendo que 80 deles de fixação de leitura do texto (para serem feitos mentalmente) e 120 de problemas que esperamos que todo o aluno resolva.

Procuramos destacar no texto os erros mais comuns dos alunos.

Existem exercícios divididos em 4 grupos:

exercícios de fixação: são para serem feitos imediatamente após a leitura do texto. São de resposta imediata (mental) sem necessidade de fazer conta.
problemas: São os principais exercícios do capítulo.
problemas extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas, ou talvez estudando de forma mais intensa, tenha mais alguns problemas para resolver.
desafios: para os que querem entender a disciplina de forma mais profunda.

Algumas escolhas importantes foram feitas:

Capítulo inicial apresenta conteúdo principal do curso sem grande formalismo: vetores e operações no R^n, espaços gerados (retas e planos), dependência e independência linear, bases e coordenadas. Estes temas são retomados no capítulo de Espaços Vetoriais, mas acreditamos que é importante uma exposição, logo no início, destes conceitos.
A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de Cramer é uma seção opcional do capítulo de Determinantes.
Espaços vetoriais de polinômios e funções não são meros exemplos, são centrais para a formação de engenheiros, matemáticos e físicos. Algumas aplicações importantes são: equações diferenciais, aproximação de funções por polinômios e métodos numéricos como elementos finitos. Introduzimos a visualização deste espaço apresentando, além das ``setinhas'', outra representação geométrica para vetores do R^n. Apresentamos morfismo de imagens como exemplo de reta em espaço vetorial de funções.
Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver sistemas. Mais tarde, após apresentar transformações lineares (TLs) e operações de soma e composição de TLs, apresentamos operações entre matrizes. Desta forma, ao invés de apresentar, por exemplo, o produto de matrizes de forma artificial, motivamos sua definição. Fica claro que o produto de matrizes não é comutativa pois a composição de função não comutativa. A matriz inversa é calculada por escalonamento, e sua fórmula explícita é uma seção opcional do capítulo de Determinantes.
Determinante é apresentado desde o início relacionado com área (volume) com sinal, para depois ser apresentado como função multilinear (alternada). Optamos por focar no algoritmo de cálculo utilizando operações elementares por ser mais eficiente e ligada diretamente aos conceitos. Apresentamos a conexão com mudança de variáveis na integração múltipla.
Enfatizamos ao longo do texto (capítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante, Autovalores e Autovetores) a visão moderna de uma matriz por blocos, fundamental para a computação científica. Apresentamos duas interpretações (e conseqüências) do produto matriz-vetor e três interpretações do produto matriz-matriz.
No capítulo de produto interno, focamos em projeções e no método de mínimos quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funções como forma de aproximá-las, preparando o aluno para métodos numéricos em engenharia.
O escalonamento é o algoritmo principal do curso, pois através dele: resolvemos sistema, determinamos se vetores são linearmente dependentes, determinamos coordenadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante, encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos projeção ortogonal.
Assim estão em seções opcionais as fórmulas para: resolver sistema (regra de Cramer), calcular inversa, calcular determinante (Leibnitz ou Laplace), ortogonalizar base (Gram-Schmidt).

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Download do Livro

Baixe aqui o Curso de Álgebra Linear. Você pode imprimi-lo, copiá-lo e distribuí-lo à vontade. Disponível aqui na UFRJ na xérox do térreo do bloco C do CT em espiral. Custa cerca de R$15,00.